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Vedendo la tua età e altezza, il tuo peso è "normale" (BMI 21.8 ), ma di certo correre ti farà stare ancora meglio.
Quanto alle scarpe non sono un esperto, ma un consiglio che posso darti è quello di andare in un centro specializzato e farti consigliare da loro (magari facendo i relativi test per capire il tuo appoggio). Io non li ho mai fatti e mi sono affidato solo al "prezzo": ho preso un paio di Nike (Dart 8 e 9) scontate. Non ho mai avuto problemi, ma di certo questo non è il modo corretto per iniziare.
Anche io abito al nord (di dove sei?), ma teoricamente sarebbe meglio affrontare la pioggia piuttosto che rinchiudersi al minimo segnale. Capisco che però è un atteggiamento difficile da adottare (specie se sei ancora agli inizi).
Anche io dispongo di una cyclette e la usavo quando ero ancora alle prime armi, quando il tempo fuori era brutto. Quindi, se proprio non puoi fare altro, puoi farti una mezz'oretta tranquilla su di essa (marce leggere però!).
Per quanto riguarda la corsa, prima di tutto sarebbe utile capire la tua attuale "autonomia di corsa" (ovvero quanti minuti riesci a correre senza fermarti). Ad ogni modo è meglio partire con cautela. Dopo aver scelto un adeguato paio di scarpe, puoi iniziare a correre cercando di fare 30 minuti. L'idea è quella di aggiungere minuti di corsa ogni volta (per esempio 30, poi 35, poi 40, ecc) stando attenti ad avere la sensazione di "freschezza" anche al termine dell'allenamento.
(Nel senso che se arrivi ai 30 minuti in uno stato pietoso O sei andato troppo forte OPPURE ti conviene riprovare con la medesima durata la volta dopo).
Quindi, ricapitolando, dopo aver scelto un paio di scarpe ottimali, inizierei a correre per gradi arrivando pian piano a tenere un'ora intera di corsa senza doversi sentir morire ne prima, ne durante, ne dopo.
Come inizio puoi provare a correre almeno 3 volte alla settimana. Se non hai problemi nei giorni seguenti, volendo puoi aumentare il numero, ma come inizio 3-4 è già più che sufficiente.
Se hai dubbi, chiedi!
Buone corse!